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空间向量立体几何知识点集锦

1 空间向量立体几何知识点集锦

一、空间向量的加法和减法:

()1求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取

空间向量立体几何知识点集锦

一点O ,作a OA =,b OB =,则a b BA =-.

()2求两个向量和的运算称为向量的加法:在空间以同一点O 为起点的两个已

知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ,则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.

空间向量立体几何知识点集锦

二、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,

a λ与a 方向相同;当0λ<时,a λ与a 方向相反;当0λ=时,a λ为零向量,记

为0.a λ的长度是a 的长度的λ倍.

三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向

量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.

四、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量a ,()

0b b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.

五、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

六、向量共面定理:空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使x y C AP =AB+A ;或对空间任一定点O ,有x y C O P=O A +A B +A ;或若四点P ,A ,B ,C 共面,则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=. 七、已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a O A =

,b OB =,则∠A O B 称为向量a ,b 的夹角,记作,a b 〈〉.两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π〈〉∈.

八、对于两个非零向量a 和b ,若,2a b π

〈〉=,则向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥.

九、已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ,b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.零向量与任何向量的数量积为0. 十、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积.

十一、若a ,b 为非零向量,e 为单位向量,则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉;

()20a b a b ⊥⇔⋅=;()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向,2a a a ⋅=,a a a =⋅;

()4cos ,a b a b a b ⋅〈〉=;()5a b a b ⋅≤.

十二、空间向量基本定理:若三个向量a ,b ,c 不共面,则对空间任一向量p ,存在实数组{},,x y z ,使得p xa yb zc =++.

十三、若三个向量a ,b ,c 不共面,则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈.这个集合可看作是由向量a ,b ,c 生成的,{},,a b c 称为空间的一个基底,a ,b ,c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 十四、设1e ,2e ,3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以1e ,2e ,3e 的公共起点O 为原点,分别以1e ,2e ,3e 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O .则对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量p OP =.存在有序实数组{},,x y z ,使得123p xe ye ze =++.把x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底1

e ,2e ,3e 下的坐标,记作(),,p x y z =.此时,向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z .

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