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高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)

较为常用的五个性质

抛物线的几个常见结论

抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一:若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦(过焦点的弦),且11(,)A x y ,22(,)B x y ,则:2

124

p x x =,212y y p =-。

证明:因为焦点坐标为F(2

p

,0),当AB 不垂直于x 轴时,可设直线AB 的方程为: ()2p y k x =-,

由2()22p y k x y px ⎧=-

⎪⎨

⎪=⎩

得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-,2242

121222244

y y p p x x p p p =⋅==。 当AB ⊥x 轴时,直线AB 方程为2

重庆快乐十分p x =,则1y p =,2y p =-,∴2

12y y p =-,同上也有:2124p x x =。

重庆快乐十分例:已知直线AB 是过抛物线2

2(0)y px p =>焦点F ,求证:11AF BF

+为定值。

结论二:(1)若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦,且直线AB 的倾斜角为α,则22sin P AB α

=(α≠0)。(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。

证明:(1)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,设直线AB:()2

p y k x =-

由2()22p y k x y px ⎧

=-⎪⎨

⎪=⎩

得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k

+=,212y y p =-,

∴12AB y -=2222

22(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα

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重庆快乐十分++===。 易验证,结论对斜率不存在时也成立。

(2)由(1):AB 为通径时,90α= ,2

sin α的值最大,AB 最小。

例:已知过抛物线2

9y x =的焦点的弦AB 长为12,则直线AB 倾斜角为 。

结论三:两个相切:(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 已知AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的过焦点F 的弦,求证:(1)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线,垂足为M 、N ,求证:以MN

证明:(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线,

垂足分别为M 、P

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、N ,连结AP 、BP 。 由抛物线定义:AM AF =,BN BF =,

∴111

()()222

QP AM BN AF BF AB =+=+=,

∴以AB 为直径为圆与准线l 相切

(2)作图如(1),取MN 中点P ,连结PF 、MF 、NF ,

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